Filtro de média móvel de 3ª ordem

Depois de clicar em quotGo para site principal: Retornar aqui depois de 10 minutos de inatividade (padrão) Retornar aqui após 1 hora de inatividade Volte aqui depois de 12 horas de inatividade Nunca use esta Premium Mobile Edition Nota: Você pode voltar a esta Premium Mobile Edition of Lottery Publique a partir do site principal a qualquer momento selecionando Return to Premium Mobile Edition no menu Opções. Nota: Se o navegador tiver cookies bloqueados ou desativados, essas opções não serão salvas. Se você apagar cookies, essas opções serão redefinidas para seus valores padrão. País / RegiãoDocumentação latcfilt Filtros IIR de todos os pólos Filtros Allpass IIR Filtros IIR gerais f, g filtros latcfilt (k, x) x com os coeficientes de retícula FIR no vetor k. O resultado do filtro de rede em diante é f e g é o resultado do filtro para trás. Se k x2264 1. f corresponde à saída de fase mínima, e g corresponde à saída de fase máxima. Se k e x são vetores, o resultado é um vetor (sinal). Os argumentos de matriz são permitidos sob as seguintes regras: Se x é uma matriz e k é um vetor, cada coluna de x é processada através do filtro de rede especificado por k. Se x é um vetor e k é uma matriz, cada coluna de k é usada para filtrar x. E uma matriz de sinal é retornada. Se x e k são ambas matrizes com o mesmo número de colunas, então a i-ésima coluna de k é usada para filtrar a i-ésima coluna de x. Uma matriz de sinal é retornada. F, g filtros de latcfilt (k, v, x) x com os coeficientes k da rede IIR e coeficientes ladder v. Ambos k e v devem ser vetores, enquanto x pode ser uma matriz de sinal. F, g latcfilt (k, 1, x) filtros x com a malha IIR especificada por k. Onde k e x podem ser vetores ou matrizes. F é o resultado do filtro de rede do todo-pólo e g é o resultado do filtro do allpass. F, g, zf latcfilt (. Ic, zi) aceita um comprimento k vetor zi especificando a condição inicial dos estados de rede. A saída zf é um vetor de comprimento k que especifica a condição final dos estados de rede. F, g, zf filtros latcfilt (.dim) x ao longo da dimensão dim. Para especificar um valor de dim, os coeficientes de treliça de FIR k devem ser um vetor e você deve especificar todos os parâmetros de entrada anteriores em ordem. Use o vetor vazio para quaisquer parâmetros que você não deseja especificar. Zf retorna as condições finais em colunas, independentemente da forma de x. Selecione sua documentação de país filtord n ​​filtord (b, a) retorna a ordem do filtro, n. Para a função do sistema racional causal especificada pelos coeficientes do numerador, b. E coeficientes denominadores, a. N filtord (SOS) retorna a ordem do filtro para o filtro especificado pela matriz de seções de segunda ordem, SOS. Sos é uma matriz K-by-6. O número de seções, K. Deve ser maior ou igual a 2. Cada linha de sos corresponde aos coeficientes de um filtro de segunda ordem. A iª linha da matriz de segunda ordem corresponde a bi (1) bi (2) bi (3) ai (1) ai (2) ai (3). N filtord (d) retorna a ordem do filtro, n. Para o filtro digital, d. Use a função designfilt para gerar d. Selecione seu país2.1 Modelos de média móvel (modelos MA) Modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autorregressivos e / ou termos de média móvel. Na Semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de séries temporais para a variável x t é um valor retardado de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo de atraso 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define termos de média móvel. Um termo de média móvel em um modelo de séries temporais é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Vamos (wt overset N (0, sigma2w)), significando que os w t são identicamente, distribuídos independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel da 1ª ordem, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w pontos thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele inverta os sinais algébricos de valores de coeficientes estimados e de termos (não-quadrados) nas fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar o software para verificar se sinais negativos ou positivos foram utilizados para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades teóricas de uma série temporal com um modelo MA (1) Observe que o único valor não nulo na ACF teórica é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma ACF de amostra com uma autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para os estudantes interessados, provas destas propriedades são um apêndice a este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. Onde (wt overset N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por Um gráfico deste ACF segue. O gráfico apenas mostrado é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra normalmente não proporciona um padrão tão claro. Usando R, simulamos n 100 valores de amostra usando o modelo x t 10 w t .7 w t-1 onde w t iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de séries temporais dos dados da amostra. Não podemos dizer muito desse enredo. A ACF de amostra para os dados simulados segue. Observamos que a amostra ACF não corresponde ao padrão teórico do MA subjacente (1), ou seja, que todas as autocorrelações para os atrasos de 1 serão 0 Uma amostra diferente teria uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria as mesmas características gerais. Propriedades teóricas de uma série temporal com um modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Note que os únicos valores não nulos na ACF teórica são para os retornos 1 e 2. As autocorrelações para atrasos maiores são 0 . Assim, uma ACF de amostra com autocorrelações significativas nos intervalos 1 e 2, mas autocorrelações não significativas para atrasos maiores indica um possível modelo MA (2). Iid N (0,1). Os coeficientes são 1 0,5 e 2 0,3. Como este é um MA (2), o ACF teórico terá valores não nulos apenas nos intervalos 1 e 2. Valores das duas autocorrelações não nulas são Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, dados de exemplo não vai se comportar tão perfeitamente como a teoria. Foram simulados n 150 valores de amostra para o modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Onde w t iid N (0,1). O gráfico da série de tempo dos dados segue. Como com o gráfico de série de tempo para os dados de amostra de MA (1), você não pode dizer muito dele. A ACF de amostra para os dados simulados segue. O padrão é típico para situações em que um modelo MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos intervalos 1 e 2, seguidos por valores não significativos para outros desfasamentos. Note que devido ao erro de amostragem, o ACF de amostra não corresponde exactamente ao padrão teórico. ACF para modelos MA (q) gerais Uma propriedade dos modelos MA (q) em geral é que existem autocorrelações não nulas para os primeiros q lags e autocorrelações 0 para todos os retornos gt q. Não-unicidade de conexão entre os valores de 1 e (rho1) no modelo MA (1). No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. O 1/1 recíproco dá o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. E então use 1 / (0,5) 2 para 1. Você obterá (rho1) 0,4 em ambas as instâncias. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. Nós restringimos os modelos MA (1) para ter valores com valor absoluto menor que 1. No exemplo dado, 1 0,5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto que 1 1 / 0,5 2 não. Invertibilidade de modelos MA Um modelo MA é dito ser inversível se for algébrica equivalente a um modelo de ordem infinita convergente. Por convergência, queremos dizer que os coeficientes de AR diminuem para 0 à medida que avançamos no tempo. Invertibilidade é uma restrição programada em séries temporais de software utilizado para estimar os coeficientes de modelos com MA termos. Não é algo que verificamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA (1) são fornecidas no apêndice. Teoria Avançada Nota. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo invertible. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes têm valores tais que a equação 1- 1 y-. - q y q 0 tem soluções para y que caem fora do círculo unitário. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, traçamos o ACF teórico do modelo x t 10w t. 7w t-1. E depois simularam n 150 valores deste modelo e traçaram a série temporal da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 atrasos de ACF para MA (1) com theta1 0,7 lags0: 10 cria uma variável chamada atrasos que varia de 0 a 10. trama (Hg) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto (a0) Chamado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de plotagem (o terceiro comando) traça defasagens em relação aos valores de ACF para os retornos 1 a 10. O parâmetro ylab rotula o eixo y eo parâmetro principal coloca um título no gráfico. Para ver os valores numéricos do ACF basta usar o comando acfma1. A simulação e as parcelas foram feitas com os seguintes comandos. Xcarima. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 adiciona 10 para fazer média 10. Padrão de simulação significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) dados) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF para dados de amostras simulados) No Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. E depois simularam n 150 valores deste modelo e traçaram a série temporal da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 parcela (atrasos, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, tipoh, ACF principal para MA (2) com theta1 0,5, (X, typeb, principal série MA (2) simulada) acf (x, xlimc (1,10), x2) MainACF para dados simulados de MA (2) Apêndice: Prova de Propriedades de MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas para propriedades teóricas do modelo MA (1). Quando h 1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 (ext) A razão é que, por definição de independência do wt. E (w k w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque w t tem média 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série de tempo, aplique este resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo inversível MA é aquele que pode ser escrito como um modelo de ordem infinita AR que converge para que os coeficientes AR convergem para 0 como nos movemos infinitamente no tempo. Bem demonstrar invertibilidade para o modelo MA (1). Em seguida, substituimos a relação (2) para wt-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z-theta2w) No tempo t-2. A equação (2) torna-se Então substituimos a relação (4) para wt-2 na equação (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z-theta12z theta31w) Se continuássemos Infinitamente), obteríamos o modelo AR de ordem infinita (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z dots) Observe, no entanto, que se 1 1, os coeficientes multiplicando os desfasamentos de z aumentarão (infinitamente) em tamanho à medida que retrocedermos Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo MA (1) invertido. Infinite Order MA model Na semana 3, bem ver que um modelo AR (1) pode ser convertido em um modelo de ordem infinita MA: (xt - mu wt phi1w phi21w pontos phik1 w dots sum phij1w) Esta soma de termos de ruído branco passado é conhecido Como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos remontando no tempo. Isso é chamado de ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Lembre-se na Semana 1, observamos que uma exigência para um AR estacionário (1) é que 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Esta última etapa usa um fato básico sobre séries geométricas que requer (phi1lt1) caso contrário, a série diverge. Richard LyonsMarch 31, 2005 O filtro previamente obscurecido de CIC é agora vital a muitas tarefas e equipamento sem fio de grande volume das comunicações. O uso de filtros do CIC pode reduzir custos, melhorar a confiabilidade e ajudar o desempenho. Heres um primer para você começar. Os filtros digitais de integrador-pente em cascata (CIC) são implementações computacionalmente eficientes de filtros lowpass de banda estreita e são frequentemente incorporados em implementações de decimação e interpolação de hardware em modernos sistemas de comunicações. Os filtros CIC foram introduzidos na comunidade de processamento de sinais, por Eugene Hogenauer, há mais de duas décadas, mas suas possibilidades de aplicação cresceram nos últimos anos. 1 As melhorias na tecnologia de chip, o aumento do uso de técnicas de filtragem polifásicas, os avanços nas implementações de conversores delta-sigma e o crescimento significativo nas comunicações sem fio despertaram muito interesse nos filtros CIC. Embora o comportamento ea implementação desses filtros não seja complicado, sua cobertura tem sido escassa na literatura de sistemas embarcados. Este artigo tenta aumentar o corpo de literatura para engenheiros de sistemas embutidos. Depois de descrever algumas aplicações para os filtros do CIC, Ill apresentará sua estrutura e comportamento, apresentará o desempenho do domínio de freqüência dos filtros do CIC e discutirá várias questões práticas importantes na construção desses filtros. Aplicações de filtro CIC Os filtros CIC são adequados para filtragem antialiasing antes da decimação (redução da taxa de amostragem), como mostrado na Figura 1a e para filtragem anti-imagem para sinais interpolados (aumento da taxa de amostragem) como na Figura 1b. Ambas as aplicações estão associadas a filtragem de taxa de dados muito alta, como modulação em quadratura de hardware e demodulação em sistemas sem fio modernos e conversores A / D e D / A delta-sigma. Figura 1: Aplicações do filtro CIC Clique na imagem para ampliar. Como seus envelopes de resposta de magnitude de freqüência são sin (x) / x, os filtros CIC são tipicamente seguidos ou precedidos por filtros FIR de linha de retardo de linha baixa de fase linear de maior desempenho cujas tarefas são compensar os filtros CIC não - faixa de passagem plana. Essa arquitetura em cascata de filtros tem valiosos benefícios. Por exemplo, com a decimação, você pode reduzir consideravelmente a complexidade computacional da filtragem lowpass de banda estreita em comparação com o uso de um único filtro lowpass de resposta de impulso finito (FIR). Além disso, o filtro FIR de seguimento funciona com taxas de relógio reduzidas, minimizando o consumo de energia em aplicações de hardware de alta velocidade. Um bônus crucial no uso de filtros CIC, e uma característica que os torna populares em dispositivos de hardware, é que eles não exigem multiplicação. A aritmética necessária para implementar esses filtros digitais é estritamente adições e subtrações apenas. Dito isto, vamos ver como os filtros CIC operam. Os filtros CIC de filtro de corrida recursiva originam-se da noção de um filtro recursivo de soma de corrida. Que é em si uma forma eficiente de uma média móvel não recursiva. Lembre-se do padrão D-ponto processo de média móvel na Figura 2a. Vemos que D -1 summations (mais um multiplicação por 1 / D) são necessárias para calcular a saída média y (n). A saída dos filtros de média móvel D-tempo no tempo é expressa como: onde n é o nosso índice de domínio do tempo. A expressão z - domínio para este averager móvel é: enquanto sua função de transferência de z - domínio H (z) é: Eu forneço essas equações para não complicar as coisas, mas porque elas são úteis. A Equação 1 nos diz como construir um averager móvel, ea Equação 3 está na forma usada pelo software de processamento de sinal comercial para modelar o comportamento do domínio de freqüência do averager móvel. O próximo passo em nossa jornada para a compreensão dos filtros do CIC é considerar uma forma equivalente do averager móvel, o filtro recursive running-sumum representado na Figura 2b. Nela vemos que a corrente amostra de entrada x (n) é adicionada ea mais antiga amostra de entrada x (n - D) é subtraída da média de saída anterior y (n - 1). Seu chamado recursivo porque tem feedback. Cada amostra de saída de filtro é retida e utilizada para calcular o valor de saída seguinte. A equação diferencial dos filtros de soma de corrida recursiva é: tendo a função de transferência az-domínio H (z) de: Usamos a mesma variável H (z) para as funções de transferência do filtro de média móvel e do filtro de soma de corrida recursiva, Funções de transferência são iguais uns aos outros Sua verdade. A equação 3 é a expressão não recursiva e a equação 5 é a expressão recursiva para um averaging de ponto D. A prova matemática disso pode ser encontrada em meu livro sobre processamento de sinal digital, mas em breve Ill demonstrar que a equivalência com um exemplo. 2 Heres porque nós nos preocupamos com filtros de corrida-soma recursive: o averager móvel padrão na Figura 2a deve executar D -1 adições por amostra de saída. O filtro recursivo de soma de corrida tem a vantagem de que apenas uma adição e uma subtração são necessárias por amostra de saída, independentemente do comprimento de atraso D. Essa eficiência computacional torna o filtro de soma de corrida recursivo atraente em muitas aplicações que procuram redução de ruído através da média. Em seguida veja bem como um filtro CIC é, em si, um filtro recursivo de corrida-soma. Estruturas de filtro CIC Se condensarmos a representação da linha de retardo e ignorarmos a escala 1 / D na Figura 2b obtemos a forma clássica de um filtro CIC de 1ª ordem, cuja estrutura em cascata é mostrada na Figura 2c. A porção feedforward do filtro CIC é chamada a seção de pente, cujo atraso diferencial é D. Enquanto a seção de feedback é normalmente chamada de integrador. O estágio do pente subtrai uma amostra de entrada atrasada da amostra de entrada corrente, eo integrador é simplesmente um acumulador. A equação de diferença de filtros do CIC é: e sua função de transferência de domínio z é: Figura 3: Filtro de CIC de fase única respostas de domínio de tempo quando D 5 Visualizar imagem de tamanho completo Para ver por que o filtro CIC é de interesse, Para D 5, mostrado na Figura 3. Se uma sequência de impulso unitário, uma amostra com valor unitário seguida de muitas amostras de valor zero, foi aplicada ao estágio de pente, a saída de estágios é como mostrado na Figura 3a. Agora pense, qual seria a saída do integrador se sua entrada era a resposta do impulso dos estágios do pente O impulso positivo inicial do filtro do pente inicia a saída de todos os integradores, como na Figura 3b. Então, as amostras D mais tarde, o impulso negativo do estágio do pente chega ao integrador para zerar todas as amostras de saída do filtro CIC. A questão-chave é que a resposta unidade-impulso combinada do filtro CIC, sendo uma sequência retangular, é idêntica às respostas de impulso unitário de um filtro de média móvel e do filtro recursivo de soma de corrida. (Médias em movimento, filtros recursivos de soma de corrida e filtros CIC são parentes próximos, têm os mesmos locais de z-pólo de domínio / zero, suas respostas de magnitude de freqüência têm formas idênticas, suas respostas de fase são idênticas e suas funções de transferência diferem apenas por Um fator de escala constante.) Se você entender o comportamento do domínio do tempo de um averager móvel, então você agora compreende o comportamento do domínio do tempo do filtro CIC na Figura 2c. Figura 4: Características de um filtro de CIC de fase única quando D 5 Ver imagem de tamanho completo A magnitude de frequência e resposta de fase linear de um filtro D 5 CIC é mostrada na Figura 4a onde a frequência s é a taxa de amostragem de sinal de entrada em Hz. Podemos obter uma expressão para a resposta de freqüência de filtros de CIC avaliando a função de transferência de cicatrizes de Equação 7s (z) no círculo de unidade z-planos, definindo z e j 2. Rendimento: Usando Eulers identity 2 j sin () e j - e j. Podemos escrever: Se ignorarmos o fator de fase na Equação 9, essa razão dos termos sin () pode ser aproximada por uma função sin (x) / x. Isto significa que a resposta de magnitude de freqüência de filtros de CIC é aproximadamente igual a uma função sin (x) / x centrada em 0Hz como vemos na Figura 4a. (É por isso que os filtros do CIC são às vezes chamados de filtros sinc). Os designers de filtros digitais gostam de ver as tramas z - plane pole / zero, então fornecemos as características do plano z de um filtro D 5 CIC na Figura 4c, onde o filtro pente Produz D zeros, igualmente espaçados ao redor do círculo unitário, e o integrador produz um único pólo cancelando o zero em z 1. Cada um dos zeros dos pentes, sendo a D th raiz de 1, está localizado em z (m) ej 2 m / D. Onde m 0, 1, 2. D -1, correspondente a uma magnitude nula na Figura 4a. A situação normalmente arriscada de ter um pólo de filtro diretamente no círculo de unidade não precisa nos incomodar aqui porque não há erro de quantização de coeficiente em nossa função de transferência de H cic (z). Os coeficientes de filtro CIC são uns e podem ser representados com perfeita precisão com formatos de números de ponto fixo. Embora recursiva, felizmente CIC filtros são garantidos estável, de fase linear mostrado na Figura 4b, e têm respostas de impulso de comprimento finito. A 0Hz (DC) o ganho de um filtro CIC é igual ao retardo D do filtro de pente. Esse fato, cuja derivação está disponível, será importante para nós quando realmente implementarmos um filtro CIC no hardware. 2 Figura 5: Filtros de CIC de estágio único usados ​​em decimação e interpolação Ver imagem de tamanho completo Novamente, os filtros de CIC são usados ​​principalmente para filtragem antialiasing antes da decimação e para filtragem anti-imagem para sinais interpolados. Com essas noções em mente, trocamos a ordem do pente e do integrador da Figura 2cs, permitiu-se fazê-lo porque essas operações são lineares e incluem a decimação por um fator de variação da taxa de amostragem R na Figura 5a. (Você pode querer provar que a resposta de impulso unitário da combinação integrador / pente, antes da alteração da taxa de amostragem, na Figura 5a é igual à da Figura 3c.) Na maioria das aplicações do filtro CIC, a variação de taxa R é igual a O diferencial de pentes D. Mas mantê-los como parâmetros de projeto separados para agora. Figura 6: Resposta de magnitude de um filtro de CIC de primeira ordem, D 8, dizimando: antes da decimação aliasiing após decimação de R 8 Ver imagem de tamanho completo A operação de decimação R significa descartar todas as amostras, exceto todas as Rth, resultando numa taxa de amostra de saída de S, out s, in / R. Para investigar um CIC filtra o comportamento de domínio de frequência com mais pormenor, a Figura 6a mostra a resposta de magnitude de frequência de um filtro D 8 CIC antes da decimação. A banda espectral, de largura B. Centrada a 0Hz é a banda de passagem desejada do filtro. Um aspecto chave dos filtros do CIC é o dobramento espectral que ocorre devido à decimação. Essas faixas espectrales sombreadas de largura B centradas sobre múltiplos de s, em / R na Figura 6a irão alias diretamente para a nossa faixa de passagem desejada após decimação por R8 como mostrado na Figura 6b. Observe como o maior componente espectral aliased, neste exemplo, é aproximadamente 16dB abaixo do pico da banda de interesse. É claro que os níveis de potência alias dependem da largura de banda B quanto menor for B, menor será a energia aliada após a decimação. A figura 5b mostra um filtro de CIC usado para interpolação onde o símbolo R significa inserir zeros R -1 entre cada x (n) Amostra, produzindo ay (n) taxa de amostragem de saída de s, out R s, in. A Figura 7a mostra um espectro arbitrário de banda de base, com as suas replicações espectrais, de um sinal aplicado ao filtro CIC de interpolação D R 8 da Figura 5b. O espectro de saída dos filtros na Figura 7b mostra como a filtragem imperfeita dá origem às imagens espectrais indesejadas. Após a interpolação, as imagens indesejadas do espectro de banda base de largura B residem nos centros nulos, localizados em múltiplos inteiros de s, out / R. Se seguimos o filtro de CIC com um filtro FIR de linha lowpass tappeddelay-line tradicional, cuja faixa de interrupção inclui a primeira banda de imagem, pode ser alcançada uma rejeição de imagem razoavelmente alta. Figura 8: Estrutura do filtro de decimação da CIC de 3ª ordem e resposta de magnitude antes da decimação quando DR 8 Ver imagem de tamanho completo Melhorando a atenuação de CIC O método mais comum para melhorar o filtro de CIC anti-aliasing e atenuação de imagem é aumentando a ordem M de O filtro CIC usando múltiplos estágios. A Figura 8 mostra a estrutura e resposta de magnitude de frequência de um filtro de decimação CIC de 3a ordem (M3). Observe a atenuação aumentada em s, out / R na Figura 8b em comparação com o filtro CIC de 1ª ordem na Figura 6a. Como os estágios do M 3 CIC estão em cascata, a resposta de magnitude de freqüência geral será o produto de suas respostas individuais ou: O preço que pagamos pela atenuação melhorada do anti-alias é adicionadores de hardware adicionais e aumentou a filtragem do filtro de CIC. Uma penalidade adicional da ordem de filtro aumentada vem do ganho do filtro, que é exponencial com a ordem. Como os filtros CIC geralmente devem trabalhar com precisão total para permanecerem estáveis, o número de bits nos sumadores é M log 2 (D), o que significa uma grande penalidade de largura de palavra de dados para filtros de ordem mais alta. Mesmo assim, esta implementação de vários estágios é comum em circuitos integrados comerciais, onde um filtro CIC de ordem M é freqüentemente chamado de filtro sinc M. Figura 9: Implementações de filtro de CIC de estágio único: para decimação para interpolação Visualizar imagem de tamanho completo Construir um filtro de CIC Nos filtros de CIC, a seção de pente pode preceder ou seguir a seção de integrador. No entanto, é sensato colocar a secção de pente no lado do filtro a funcionar com a taxa de amostragem mais baixa para reduzir os requisitos de armazenamento no atraso. Trocando os filtros de pente da Figura 5 com as operações de mudança de taxa resulta na implementação mais comum de filtros de CIC, como mostrado na Figura 9. Observe que a seção de pente de filtros de decimação agora tem um retardo de atraso de N D / R. Isso ocorre porque um retardo de amostra N após decimação por R é equivalente a um atraso de amostra D antes da decimação por R. Do mesmo modo para o filtro de interpolação, um atraso de amostra N antes da interpolação por R é equivalente a um retardo de amostra D após interpolação por R. Essas configurações da Figura 9 dão dois grandes benefícios: primeiro, o novo retardo diferencial das seções de pente diminui para N D / R reduzindo os requisitos de armazenamento de dados em segundo lugar, a seção de pente agora opera a uma taxa de clock reduzida. Ambos os efeitos reduzem o consumo de energia do hardware. Figura 10: Respostas do filtro de decimação do CIC: para vários valores de atraso diferencial N. Quando R 8 para dois fatores de decimação quando N 2 Ver imagem em tamanho grande O parâmetro de projeto de atraso diferencial de seções de pente N é tipicamente 1 ou 2 para razões de taxa de amostragem altas, como é freqüentemente usado em conversores para cima / para baixo. N efetivamente define o número de nulos na resposta de freqüência de um filtro de decimação, como mostrado na Figura 10a. Uma característica importante de um decimador de CIC é que a forma da resposta do filtro muda muito pouco, como mostrado na Figura 10b, como uma função da razão de decimação. Para valores de R maiores que cerca de 16, a alteração na forma do filtro é desprezível. Isso permite que o mesmo filtro FIR de compensação seja usado para sistemas de razão de decimação variável. O filtro CIC sofre de estouro de registro devido ao retorno de unidade em cada estágio de integrador. O desbordamento não tem qualquer consequência desde que as duas condições seguintes sejam atendidas: o intervalo do sistema de numeração é maior ou igual ao valor máximo esperado na saída eo filtro é implementado com aritmética de dois complementos (não padronizados). Como um filtro de CIC de 1ª ordem tem um ganho de D NR em 0Hz (DC), os filtros de decimação em cascata da M têm um ganho líquido de (NR) M. Cada integrador adicional deve adicionar outra largura de bits NR para os estágios. Os filtros CIC de interpolação têm zeros inseridos entre as amostras de entrada reduzindo seu ganho por um fator de 1 / R para considerar as amostras de valor zero, de modo que o ganho líquido de um filtro CIC de interpolação é (NR) M / R. Como o filtro deve usar aritmética de números inteiros, as larguras de palavra em cada fase no filtro devem ser largas o suficiente para acomodar o sinal máximo (entrada em escala completa vezes o ganho) nessa fase. Embora o ganho de um filtro de decimação CIC de ordem M É (NR) M integradores individuais podem experimentar o estouro. (O seu ganho é infinito em DC). Como tal, o uso de dois complementos aritméticos resolve essa situação de estouro tão logo a largura de palavra do integrador acomode a diferença máxima entre quaisquer duas amostras sucessivas (ou seja, a diferença não causa mais do que Um único estouro). Usando o formato binário do complemento twos, com sua propriedade de envolvimento modular, o filtro de pente subseqüente calculará corretamente a diferença correta entre duas amostras sucessivas de saída do integrador. Para a interpolação, o crescimento no tamanho da palavra é um bit por fase do filtro de pente e o estouro deve ser evitado para que os integradores acumulem corretamente. Portanto, devemos acomodar um bit extra de crescimento de palavras de dados em cada fase de pente para interpolação. Existe alguma pequena flexibilidade na descarte de alguns dos bits menos significativos (LSBs) dentro dos estágios de um filtro CIC, à custa do ruído adicionado na saída dos filtros. Os efeitos específicos desta remoção de LSB são, entretanto, um problema complicado que você pode aprender mais sobre o problema lendo o papel de Hogenauers. 1 Enquanto a discussão anterior se concentrou em filtros de CIC com fio, esses filtros também podem ser implementados com chips de DSP de ponto fixo programáveis. Embora esses chips tenham caminhos de dados inflexíveis e larguras de palavras, a filtragem de CIC pode ser vantajosa para mudanças de taxa de amostragem altas. Largura de palavra grande pode ser acomodada com adições multiword em detrimento de instruções extras. Mesmo assim, para grandes fatores de mudança de taxa de amostragem, a carga de trabalho computacional por amostra de saída, em chips de DSP de ponto fixo, pode ser pequena. Filtros de compensação Em aplicações típicas de filtragem de decimação / interpolação, queremos uma banda de passagem razoavelmente plana e um desempenho de filtro de região de transição estreito. Estas propriedades desejáveis ​​não são fornecidas pelos filtros CIC sozinhos, com os seus ganhos de banda passante inclinados e regiões de transição largas. Nós aliviamos este problema, em decimação por exemplo, seguindo o filtro CIC com um filtro FIR não-recursivo de compensação, como na Figura 1a, para estreitar a largura de banda de saída e aplainar o ganho de banda passante. A compensação FIR filtra a resposta de magnitude de freqüência é idealmente uma versão invertida da resposta de banda passante do filtro CIC semelhante à mostrada pelo diagrama Curva tracejada na Figura 11a para um filtro FIR trifásico simples cujos coeficientes são -1/16, 9/8, -1/16. With the dotted curve representing the uncompensated passband droop of a 1st-order R 8 CIC filter, the solid curve represents the compensated response of the cascaded filters. If either the passband bandwidth or CIC filter order increases the correction becomes greater, requiring more compensation FIR filter taps. An example of this situation is shown in Figure 11b where the dotted curve represents the passband droop of a 3rd-order R 8 CIC filter and the dashed curve, taking the form of x/sin(x)3, is the response of a 15-tap compensation FIR filter having the coefficients -1, 4, -16, 32, -64, 136, -352, 1312, -352, 136, -64, 32, -16, 4, -1. A wideband correction also means signals near s, out /2 are attenuated with the CIC filter and then must be amplified in the correction filter, adding noise. As such, practitioners often limit the passband width of the compensation FIR filter to roughly 1/4 the frequency of the first null in the CIC-filter response. Those dashed curves in Figure 11 represent the frequency magnitude responses of compensating FIR filters within which no sample-rate change takes place. (The FIR filters input and output sample rates are equal to the s, out output rate of the decimating CIC filter.) If a compensating FIR filter were designed to provide an additional decimation by two, its frequency magnitude response would look similar to that in Figure 12, where gt s, in is the compensation filters input sample rate. Figure 12: Frequency magnitude response of a decimate-by-2 compensation FIR filter View full-sized image Advanced techniques Heres the bottom line of our CIC-filter discussion: a decimating CIC filter is merely a very efficient recursive implementation of a moving-average filter, with NR taps, whose output is decimated by R . Likewise, the interpolating CIC filter is insertion of R -1 zero samples between each input sample followed by an NR - tap moving-average filter running at the output sample rate s, out . The cascade implementations in Figure 1 result in total computational workloads far less than using a single FIR filter alone for high sample-rate-change decimation and interpolation. CIC filter structures are designed to maximize the amount of low-sample-rate processing to minimize power consumption in high-speed hardware applications. Again, CIC filters require no multiplication their arithmetic is strictly addition and subtraction. Their performance allows us to state that, technically speaking, CIC filters are lean, mean filtering machines. In closing, there are ways to build nonrecursive CIC filters that ease the word-width growth problem of the traditional recursive CIC filters. Those advanced CIC filter architectures are discussed in my book Understanding Digital Signal Processing, 2E. 2 Richard Lyons is a consulting systems engineer and lecturer with Besser Associates in Mountain View, Ca. He is the author of Understanding Digital Signal Processing 2/E and an associate editor for the IEEE Signal Processing Magazine where he created and edits the DSP Tips amp Tricks column. You can reach him at r. lyonsieee. org. Hogenauer, Eugene. An Economical Class of Digital Filters For Decimation and Interpolation, IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing . Vol. ASSP-29, pp. 155-162, April 1981. Lyons, Richard, Understanding Digital Signal Processing, 2nd Ed . Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2004, pp. 556-561.